カテゴリ:擬似数学ネタ( 7 )

 

やはり数学ネタしかないか・・・

いやー、すっかりごぶサタディ。

というタイトルの記事を先週の土曜日に投稿しようと思ったが、一抹の虚しさを覚えたので、やめました(嘘)


ということで、10日振りですね!

研究室での課題に追われ、論文読みに苦悩し、課題に追われ、英語力のなさを痛感し、課題に追われるという、本来あるべき(?)学生生活を日々送っております。


いかん。

たまには息抜きをせねば。

読書も進んでおらぬし、何か書くことはないものか・・・・・・。



・・・というわけで、ネタが切れた際の奥の手、擬似数学ネタをば。


今回は数学というより数字ネタ及びトリビア風味で。

完全数というものがあります。
これは、その数自身を除く約数の総和が、その数自身になるという数のことです。
言葉で説明しても分かりにくいので、具体例を挙げると、

6の約数は、1、2、3、6。
6を除く約数の和は、1+2+3=6
その数自身になるのです。

これを完全数と言います。

6の次に小さい完全数が28。
これも1+2+4+7+14=28となります。

一方、友愛数なるものもあります。友愛数とは、異なる自然数の自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるなるような数のことです。具体的には

220の約数は、1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220。
220を除いた約数の和は1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

ところで、284の約数は、1、2、4、71、142、284。
284を除いた約数の和は1+2+4+71+142=220。

というような数の組。かのピタゴラスは、この性質を持つ数にいたく感動して、「友愛数」と名づけたのだとかそうでないとか。


これら、「完全数」、「友愛数」に何か対抗できないものだろうか?

例えばこんなのはどうだろう。


完全数 vs. 407=4^3+0^3+7^3

友愛数 vs. 136=2^3+4^3+4^3 & 244=1^3+3^3+6^3

何故に3乗するの?というツッコミはなしの方向で。


加えて、

完全数 vs. 1364=1^4+3^4+6^4+4^4

友愛数 vs. 2178=6^4+5^4+1^4+4^4 & 6514=2^4+1^4+7^4+8^4

何故に4乗するの?というツッコミはなしの方向で。


さらに完全数だけならば、

完全数 vs. 54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5

何故に5乗にするの?というツッコミは(以下略)


無理を承知で、

完全数 vs. 1233=12^2+33^2 とか、8833=88^2+33^2

友愛数 vs. 1/27=0.037037037...... & 1/37=0.027027027......


もう何でもいいの(以下略)


(ちなみに、こういう数字の法則ばかりが載っている奇妙な本が図書館にありました、とさ)
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  by we_2006 | 2007-05-02 01:04 | 擬似数学ネタ

「終わり良ければすべて良し」であることへの反証(あるいは些か冗漫な述語論理的釈明)

「ド・モルガンの法則」という定理がある。

二つの命題A、Bについて、「AかつB」(「AまたはB」)という命題の否定は、「Aでない、またはBでない」(「Aでない、かつBでない」)という命題と恒等である、という法則である。

これを利用して、前の記事に反論してみよう。


物事の過程において言えること。それは

「すべてにおいて言えることは、終わりにおいて言えることである」

ということ。

「始め」にしろ「途中」にしろ「終わり」にしろ、それは過程の「すべて」の一部分なのだから、当たり前のことである。つまり自明なことだ。

結局これは、「すべての中に終わりが含まれる」というのを、命題論理をいわば拡大した「述語論理」として捉えていることになる。それを踏まえて、「すべてが良くない」の否定をとってみると、

「ある(過程の)一部が良い」


これを前の記事の「すべて良くなければ、終わりも良くない」に当てはめてみる。すると、「すべて良くなければ、終わりも良くない」の対偶は「終わりが良ければ、一部が良い」ということになる。「終わり」が良くて、且つ「終わり」は「すべて」の一部なのだから、「一部が良い」のは当然のこと。これも自明なことである。

つまり、恒等的に真である「すべて良くなければ、終わりも良くない」の対偶は「終わり良ければすべて良し」ではないのだ。

すなわち、前の記事では、「終わりが良ければ、すべてが良い」ことが恒等的に真であるとは証明できていないのである。

自明なことの対偶は、もちろん自明なことでしかない。

<QED>
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  by we_2006 | 2007-02-19 17:58 | 擬似数学ネタ

「終わり良ければすべて良し」であることの論証(あるいは些か滑稽な命題論理的冗談)

対偶という概念がある。

ある命題「AならばB」に対して、「BでないならAでない」は、その命題の対偶であるという。
そして、命題が真ならば必ず、その命題の対偶も真なのである。

これを利用して、「終わり良ければすべて良し」ということを証明して見せよう。


物事の過程において言えること。それは

「すべて良くなければ、終わりも良くない」

ということ。

「すべて」が「良くない」。そして、「終わり」は「すべて」の中の一部なのだから、当然「終わり」も「良くない」ことになる。これは自明なことだ。

上の命題に対して、その対偶をとってみる。

「終わりが良ければ、すべてが良い」


「すべて良くなければ、終わりも良くない」が恒等的に真であるので、その対偶である「終わりが良ければ、すべてが良い」も、恒等的に真である。
すなわち、常に「終わり良ければすべて良し」ということが言えるわけだ。

<QED>
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  by we_2006 | 2007-02-19 17:06 | 擬似数学ネタ

困った時は数学ネタを使おうとしてさらに困る

最近は、本がちっとも読めていませんねぇ・・・。
前回から数日空いてしまいましたが、ネタも特にない・・・。

そういう時には数学ネタで無謀なことに挑戦してみよう。

森氏のブログ「モリログ・アカデミィ」で、高田崇史氏が特別講師をしていたときの記事に、「オイラーの魔方陣」というものが紹介されていました(2006/12/12の記事)。
8×8の巨大なものなのですが、実にエレガントな魔方陣ですねぇ。

ちなみに魔法陣とは、連続した整数を正方形状に並べて、各行の和、各列の和がすべて同じになる数列のこと。

ということで、私も戯れに、3×3の魔方陣作りに挑戦。

連続する任意の9つの整数はn,n+1,n+2,...,n+8と表すことが出来る。
これらの和は9n+36。3×3の魔方陣は当然3行・3列なので、1行・1列の和は(9n+36)/3=3n+12となる。
問題は、n ~ n+8の整数を使ってどうやってすべての行・列の和を3n+12にしていくか。
ここで、場合分けを行う。

(a)n,n+1が同じ行(または列)にある場合
すべての行(列)はその和が3n+12にならければいけないので、その行(列)の最後の数は自動的に3n+12-(n+n+1)=n+11になる。しかし、n ~ n+8までの整数しか使用できないので、矛盾する。

(b)n,n+2が同じ行(または列)にある場合
同様に、行(列)の和が3n+12にならければいけないので、最後の数は3n+12-(n+n+2)=n+10になるはず。しかしこれも、n ~ n+8までの整数しか使用できないので、矛盾する。

(c)n+1,n+2が同じ行(または列)にある場合
これも行(列)の和が3n+12にならければいけないので、最後の数は3n+12-(n+1+n+2)=n+9になるが、n ~ n+8までの整数しか使用できないので、矛盾する。

ゆえに、3×3の魔方陣になる条件は、(a)でも(b)でも(c)でもない、つまりn,n+1,n+2が互いに異なる行・列に配置されていなければいけないことである。

n,n+1,n+2が互いに異なる行・列に配置されているようなパターンは何通りあるか。簡略化のためn=A,n+1=B,n+2=Cとすると、

A□□  □A□
□B□  B□□
□□C  □□C

大まかには上の3パターンに分けられる。さらに左のパターンは中心のマスにA、B、Cがくるかの3通り、右のパターンはA、B、Cの組み合わせ6通りに分けることができる。
そしてそれぞれが、元のもの、90°右に回転させたもの、180°回転させたもの、90°左に回転させたものの4通りに重複なく分けられる。

今のところ、n,n+1,n+2の配置だけで(3+6)*4=36通りまで分けることができた。今度はn+3の位置を決めてみる。n+3にも条件がある。それは、
 ・nとn+3が同じ行(または列)あってはならない
という条件。なぜなら、同じ行(列)に入ると仮定すると、行(列)の和は3n+12より、行(列)の最後の数は3n+12-(n+n+3)=n+9となり、n ~ n+8までの整数しか使用できないことに矛盾するから。
同様に、(a)(b)を仮定した場合の矛盾性より、
 ・nとn+1が同じ行(または列)あってはならない
 ・nとn+2が同じ行(または列)あってはならない
という条件もある。つまりn+3の入る位置は、9マスのうちnと同じ行(列)にならない4マスに絞られ、さらに同じ条件でn+1とn+2も同じ4マスの中に入るので、2マスに限定される。

これは言い換えれば、これまでの36通りのn,n+1,n+2の配置パターンそれぞれに、魔方陣の条件を満たすn+3の入れ方が2通りずつあるということ。
n+3まで入れば後は一意に決まります。つまり最終的に、36*2=72通りの魔方陣が存在することになるのです。

まあ、単にどれか1マス固定して、「nが入るとき、行を入れ替えた上での列の入れ替え4通り、列を入れ替えた上での行の入れ替え4通り、計8通りある」で、「n+1 ~ n+8の時も同様なので、8×9=72通りある」という考え方もできるんですが。

・・・って、私は何をしようとしていたんだっけ?
ああそうか、魔方陣を実際に作るんだった。
じゃあこれ。

2 7 6
9 5 1
4 3 8

ああ、あっけない・・・。
どうせならもう一捻りして見ましょう。

例えば、どの行(列)の積をとっても同じ数になる変則型魔方陣。

↓こんなの

√9   12-4  14-13
8-6  15÷5  √16
11-7 1^10  2×3

え?反則?いやいや、1~9だけじゃ出来やしませんよ。なので1~16に拡大。そして数式もOK。というかむしろこれは小町算か?

じゃあ、すべて違う数式だが、同じ数字しか使っていなくてどの行(列)の和をとっても等しくなる魔法陣。

2-2*2 2+2+2 2*2/2
2+2-2 2/2*2 2*2-2
2+2*2 2-2-2 2-2+2

・・・もはや魔法陣ではない・・・orz
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  by we_2006 | 2006-12-20 23:30 | 擬似数学ネタ

久しぶりの数学ネタか?

ということで、数学ネタ(というよりも論理学ネタ)に走ります。

有名なパラドクス(矛盾)があります。

「この文は偽である」

というもの。「この文」というのは上の文全体を指していて、かつ真、偽2種類の区別しかつけない場合、上の文はパラドクスとなります。

まず、上の文を「真」と仮定する。すると「この文は偽である」が正しい。すなわち上の文は「偽」である。よって、仮定と矛盾する。
次に、上の文を「偽」と仮定する。すると「この文は偽である」が「偽」であるのだから、上の文は「真」になる。よって、仮定と矛盾する。

これが上のパラドクスの仕組み。
これを記号を使って表すと、以下のようになります。

A:「Aは偽である」

つまり、Aという事象の内容が「Aが偽である」ということであり、言わば自己言及になっているわけです。メタミステリにも通じるものがありますね。

ここで疑問。
「真」か「偽」かをはっきりと決められるのはあくまで論理学の中の話。世の中そう白黒つけられるものではない。言うなれば「グレーゾーン」、すなわち『「真」でも「偽」でもないもの』があるとすればどうなるのか?

例に挙げた、
A:「Aは偽である」
で検証してみる。

まず、Aを「真」と仮定する。すると「Aは偽である」が正しい。すなわちAは「偽」である。よって、仮定と矛盾する。
次に、Aを「偽」と仮定する。すると「Aは偽である」が「偽」であるのだから、Aは「偽」ではない。よって、仮定と矛盾する。
そして、Aを「真でも偽でもない」と仮定する。すると「Aは偽である」が「真でも偽でもない」のだから、Aは少なくとも偽ではない。これは、仮定に矛盾しない。
ということはパラドクスではない?

なぜAを「真でも偽でもない」と仮定すると矛盾しない(と見ることができる)のか?それは「偽ではない」ことが「真である」ことと等価にはならないし、同様に「真でない」ことが「偽である」ことと等価にはならないから。つまり、「真でも偽でもない」という状態が存在するが故に、「真でない」は「真でも偽でもない」か「偽である」のどちらかになり、また「偽でない」は「真でも偽でもない」か「真である」のどちらかになる。したがって、Aを「真でも偽でもない」とおけば、「真でもない」し、「偽でもない」ので、結果「真でも偽でもない」ことになる・・・って当たり前っちゃ当たり前ですよね。

しかしAを「真でも偽でもない」と仮定すると、「Aは偽である」というAの内容は明らかに「偽」ではないのか?
そう考えることも出来る。しかし、Aを「真でも偽でもない」と仮定した場合、「Aは偽である」というAの内容は「偽」と確定することはできない考え方もある。なぜなら「Aが偽である」という事象にも「真」・「偽」の他に「真でも偽でもない」という状態の可能性があるから。
Aを「真でも偽でもない」と仮定したのだからAが他の状態(「真」または「偽」である)と確定できないかぎり、矛盾したことにはならない。この場合、「偽である」と確定できない考え方の根底には、「真でも偽でもない」という状態の存在がある。
Aを「真でも偽でもない」と仮定したが故に、「Aは偽である」と自己言及したAは「偽である」と断定できない。ってややこしい・・・・・・。

ここまで考えてくると、そもそも「真でも偽でもない」って何なのさ?という根本的な疑問さえ沸いてくる。世の中正しいか、そうでないかの2つなんだから、「それ以外の他の状態」ってあるわけないじゃないか。

あれ?とすると、「世の中そう白黒はっきりとつけられるものではない」というのは嘘か?いやいや、グレーゾーンってのは確かにあるぞ・・・・・・ということは「それ以外の他の状態」が存在することになるのか?あれ?矛盾するぞ・・・・・・?

という社会派パラドクスはどうでしょう?(っていうかそれはパラドクスじゃねぇ)
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  by we_2006 | 2006-09-29 18:49 | 擬似数学ネタ

数学ネタ再び

けっこう有名な数学ネタ。

0.9999・・・・・・と1は等しい。

しかし、「等しい」と言われても納得できない、0.9999・・・・・・と1とでは違うのではないのか?
という疑問を抱く人も当然いるはず。そんな人に対しては、どう説明すればよいでしょう?

説明方法:1

1/3を小数にすると0.3333・・・・・・。
2/3だと、0.3333・・・・・・を2倍して0.6666・・・・・・。
同様に、3/3だと、0.3333・・・・・・を3倍して0.9999・・・・・・。
でも、3/3は1である。
よって、0.9999・・・・・・と1は等しい。

これで納得できる人はどれくらいいるでしょう?
おそらく、ほとんどの人が納得できないはず。
では説明方法を変えてみましょう。

説明方法:2

0.9999・・・・・・=Xとおく。
両辺を10倍すると、9.9999・・・・・・=10X。
この式から、先ほどの0.9999・・・・・・=Xとの差をとると、
9=9X。
ゆえに、X=1。
よって、0.9999・・・・・・と1は等しい。

これで納得できる人は?
やはりこれでも、ほとんどの人が納得できないはず。
こうなると、厳密な数学で証明するしかありません。

説明方法:3(証明)

0.9999・・・・・・=0.9+0.09+0.009+0.0009+・・・・・・より、
循環小数0.9999・・・・・・は、初項が0.9、公比が0.1の無限等比級数と等価である。
初項a、公比r(ただし、0<r<1)の無限等比級数Sは、
S=a/(1-r)なので、
a=0.9、r=0.1を代入すると、
S=0.9/(1-0.1)=0.9/0.9=1
Sは循環小数0.9999・・・・・・と等価なので、0.9999・・・・・・と1は等しい。(証明終)

これで納得できる人は?
・・・って逆に分かりにくいか・・・・・・。
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  by we_2006 | 2006-07-12 16:32 | 擬似数学ネタ

数字遊び+問題

ネタがないんで、数学(数字)ネタでいきます。

ある数で割り切れるかどうかを簡単に知ることができる法則、皆さんはご存知でしょうか?

例を挙げると、ある数が3で割り切れるかどうかを知りたいとき。
その数のそれぞれの桁の数をすべて足して、それが3で割り切れれば(3の倍数であれば)、元の数も3で割り切れます。
具体的に言うと、579は、5+7+9=21が3の倍数なので、3で割り切れます。427は、4+2+7=13が3の倍数ではないので、3で割り切れません。

このように、3だけではなく他の数にも、同様の法則があるのです。

具体的に挙げてみましょう。

2:下1桁が偶数であれば割り切れる(これは当たり前)

3:それぞれの桁の数をすべて足した数が3の倍数であれば、割り切れる。

4:下2桁の数が4の倍数であれば割り切れる(100が4で割り切れるため)

5:下1桁が0か5であれば割り切れる(これも当たり前)

6:下1桁が偶数かつ、それぞれの桁の数の和が3の倍数であれば、割り切れる(要するに2でも3でも割り切れれば、6でも割り切れるということ)

7:存在しません。

8:下3桁が8の倍数であれば割り切れる(1000が8で割り切れるため)

9:それぞれの桁の数をすべて足した数が9の倍数であれば、割り切れる。

10:下1桁が0・・・って当たり前すぎる!

11:奇数桁(例えば一の位・百の位・一万の位など)の数の和と、偶数桁(例えば十の位・千の位・十万の位など)の数の和との差が、0もしくは11の倍数であるなら割り切れる。


11についてはややこしいので具体例を挙げておくと、
23749奇数桁の和は2+7+9=18偶数桁の和は3+4=7両者の差は18-7=11。よって、23749は11で割り切れる。

274164奇数桁の和は7+1+4=12偶数桁の和は2+4+6=12両者の差は12-12=0。よって、274164は11で割り切れる。

7361奇数桁の和は3+1=4偶数桁の和は7+6=13両者の差は13-4=9。よって、7369は11で割り切れない。

こんな感じ。
3や9に関しては知っている人は多いかもしれませんが(9についてはトリビアで見た記憶がある)、11について知っている人は少ないでしょう(ちょっと自慢)。


そこで、これらの法則を活かした問題を出題。

1~9までのカードが1枚ずつある。これらのなかで、連続した数のカードを5枚(例えば1~5や4~8というように)選ぶ。選んだ5枚のカードを、適当に横一列に並べて、5桁の数を作る(例えば2~6までのカードを選んだとしたら、23456とか、63542というふうに)。
この条件で作られる600個の5桁の数の中で、44で割り切れるものはいくつあるだろうか?また、44で割り切れるものをすべて挙げよ。

この問題は、上で挙げた法則と中等数学程度の知識を使えば、手当たり次第に探すことなく、該当する数字を見つけ出すことができます。
法則や論理を駆使して該当する数字を絞り込む。おお、これはまさにミステリの解決編のようではないか(とちょっと思った)

ということで、あなたも探偵になった気分で(?)、犯人(該当する数)を探してみませんか?
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  by we_2006 | 2006-04-07 19:27 | 擬似数学ネタ

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